Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos.

Pitágoras

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”

— Pitágoras

Por definición, un triángulo rectángulo, como su nombre lo dice, es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, que contiene un ángulo de 90°, además llamamos al lado opuesto a ese ángulo hipotenusa, los dos restantes se denominan catetos.

Podemos decir entonces que si tenemos dos catetos a y b y una hipotenusa c:

a^2+b^2=c^2

De esta ecuación, se despeja cada letra y se obtienen otras tres ecuaciones que son útiles en la práctica para encontrar los otros dos lados:

a = \sqrt{c^2-b^2} \quad  b = \sqrt{c^2-a^2}  \quad  c = \sqrt{a^2+b^2}

Nótese que sólo se usa la raíz positiva ya que el teorema se refiere a distancia.

Demostración

Existen muchas demostraciones que sustentan el Teorema de Pitágoras y, en particular, abordaremos una geométrica que resulta muy sencilla.

Supongamos tenemos cuatro triángulos rectángulos idénticos, con catetos a y b, e hipotenusa c, además un cuadrado de lado c, con estas figuras podemos construir la siguiente:

teorema de pitágoras demostración geométrica

La cual evidentemente es un cuadrado de lado a+b. Nos centraremos en hallar dos métodos para calcular su área que denotaremos como A.

Método 1

Resulta el más evidente y es usar la fórmula del área de un cuadrado (lado por lado), es decir:

A = (a+b)(a+b) = a^2+2ab+b^2

Método 2

Calculamos el área de un triángulo y lo multiplicamos por cuatro, ya que éstos son idénticos, y luego sumamos el área del cuadrado de lado c:

A = 4(\frac{ab}{2})+c^2 = 2ab+c^2

Igualamos…

Si con estas dos formas llegamos al área, entonces podemos igualarlas, ya que son lo mismo.

a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2

Restamos 2ab de ambos lados.

a^2+b^2 = c^2\square

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