Binomio de Newton

El teorema del binomio de Newton es una fórmula que nos proporciona una forma de desarrollar con sumandos la potencia enésima de cualquier binomio.

Sean a y b números arbitrarios y n un número natural. Entonces:

(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n

Usando la notación sigma, puede escribirse también de la siguiente manera:

(a+b)^n = \sum_{r=0}^n{\binom{n}{r}a^{n-r}b^r}

Los términos de la forma \binom{n}{r} se llaman coeficientes binomiales y representan las formas de escoger r elementos en un conjunto de n elementos, en resumen, su fórmula es la siguiente.

Combinatoria del Binomio de Newton

Éstos pueden encontrarse además en el triángulo de Pascal, en el cual cada elemento es la suma de los dos superiores (en el caso de una esquina le corresponde 1). Ahí la enésima fila contiene los ceficientes \binom{n}{r} de manera ordenada desde \binom{n}{0} hasta \binom{n}{n}.

Triángulo de Pascal para calcula rlos coeficientes del Binomio de Newton

Ejemplos

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4

Para el caso donde el binomio tenga algún signo negativo, se desarrolla de manera similar. Lo único que se debe tomar en cuenta sería cuántas veces se toma ese término en cada expresión del binomio, pues eso definirá el signo de cada término en el binomio, por ejemplo en

(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3

Note que los términos que tienen el signo negativo fueron en los que la potencia del término negativo del binomio es impar, y tiene sentido, pues es un número negativo multiplicado un número impar de veces, lo que resulta otro negativo.

Teorema multinomial

El teorema del binomio puede ser generalizado para incluir potencias de sumas de más de dos términos. En general:

(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n}{\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}}

En esta fórmula, la suma se toma sobre todos los valores enteros naturales desde k_1 hasta k_m tales que la suma de todos estos valores es igual a n. Los coeficientes de la sumatoria, conocidos como coeficientes multinomiales se calculan según la fórmula:

\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_m!}

Desde el punto de vista de la combinatria, el coeficiente multinomial cuenta el número de diferentes maneras de dividir un conjunto de n elementos en subconjuntos disjuntos de tamaños k_1, k_2, \dotso ,k_m.

Preguntas Frecuentes del Binomio de Newton

¿Qué dice el binomio de Newton?

El binomio de Newton es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio. Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (también conocido como triangulo de Pascal).

¿Quién descubrió/creó el Binomio de Newton?

Atribuido a Isaac Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karjí alrededor del año 1000.