Demostración de la regla del cambio de base de logaritmos

Enunciado

La regla del cambio de base dice lo siguiente: Se puede cambiar la base de cualquier logaritmo de una base a a otra b de acuerdo a la siguiente manera:

\log_a{M} = \frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}

Demostración del cambio de base de un logaritmo:

Primero definamos el logaritmo de M con base  a:

\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M

Trabajaremos con el lado derecho:

a^T = M

Se van a aplicar logaritmo de base b de los dos lados de la igualdad:

\log_b{(a^T)} = \log_b{M}

Por la regla de la potencia en los logaritmos, se puede bajar el exponente T multiplicando:

T \cdot \log_b{a} = \log_b{M}

Despejamos para T:

T = \frac{  \log_b{M} }{ \log_b{a}}

Obtuvimos el valor de T al inicio de la demostración, lo reemplazamos:

\log_a{M} = \frac{  \log_b{M} }{ \log_b{a}} \square

Más información aquí.

Preguntas Frecuentes sobre Logaritmos

¿Qué es un logaritmo?

Exponente al que hay que elevar un número, llamado base, para obtener otro número determinado.

¿Para qué cambiar la base de un logaritmo?

Muchas veces resulta útil si es que no se tiene la base requerida en la calculadora.

¿Cuándo se utiliza un logaritmo?

Cuando se trabajan ecuaciones con exponenciales y, por ejemplo, se requiere despejar el exponente.