El logaritmo de M en base a es igual a 1 sobre el logaritmo de a en base M:
\log_a{M} = \frac{1}{\log_{M}{a}}
Demostración:
Primero definamos el logaritmo de M con base a:
\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M
Trabajaremos con el lado derecho:
a^T = M
Aplicamos log_M a los dos lados:
\log_{M}{(a^T)} = \log_{M}{(M)}
Usamos el hecho de que \log_a{a}=1 en el lado derecho de la igualdad:
\log_{M}{(a^T)} = 1
Por la regla de la potencia en los logaritmos, se puede bajar el exponente T multiplicando:
T \cdot \log_{M}{a} = 1
Despejamos para T:
T = \frac{ 1 }{\log_{M}{a}}
Se definió T al inicio de la demostracion:
\log_a{M} = T = \frac{ 1 }{\log_{M}{a}}
Por transitividad:
\log_a{M} = \frac{ 1 }{\log_{M}{a}} \square