Demostración de la igualdad del logaritmo con el cociente de 1 y el logaritmo del número y base intercambiados

El logaritmo de M en base a es igual a 1 sobre el logaritmo de a en base M:

\log_a{M} = \frac{1}{\log_{M}{a}}

Demostración:

Primero definamos el logaritmo de M con base  a:

\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M

Trabajaremos con el lado derecho:

a^T = M

Aplicamos log_M a los dos lados:

\log_{M}{(a^T)} =  \log_{M}{(M)}

Usamos el hecho de que \log_a{a}=1 en el lado derecho de la igualdad:

\log_{M}{(a^T)} =  1

Por la regla de la potencia en los logaritmos, se puede bajar el exponente T multiplicando:

T \cdot \log_{M}{a} =  1

Despejamos para T:

T = \frac{  1 }{\log_{M}{a}}

Se definió T al inicio de la demostracion:

\log_a{M} = T = \frac{  1 }{\log_{M}{a}}

Por transitividad:

\log_a{M} = \frac{  1 }{\log_{M}{a}} \square