El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.
log_a{(MN)} = log_a{M} + log_a{N}
Demostración:
Primero definamos los logaritmos de los números M y N con base a:
\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M \log_a{N} = U \Longleftrightarrow a^U = NTomando en cuenta que a^T = M y a^U = N:
a^T \cdot a^U = M \cdot NSimplificamos del lado izquierdo con la ley de exponentes que dice x^m\cdot x^n = x^{m+n}:
a^{T +U} = MNAplicamos la definición de logaritmo en esa igualdad:
a^{T +U} = MN \Longleftrightarrow log_a{(MN)} = T+ UPor lo que se definió al principio de la demostración, se conocen los valores de T y U, así que los reemplazamos en la ecuación:
log_a{(MN)} = \log_a{M}+ \log_a{N} \square