Leyes de los exponentes

Las leyes de los exponentes (también llamadas reglas de los exponentes) son la forma en la cual podemos operar a los exponentes.

Números de fomi de colores amontonados, uno sobre otro. Leyes de los exponentes

Lista de leyes:

LeyEjemplo
x^1=x5^1=5
x^0=1, x \neq 05 ^0 = 1
x^{-1}=\frac{1}{x}, x \neq 05^{-1}=\frac{1}{5}
x^{-n}=\frac{1}{x^n}, x \neq 05^{-3}=\frac{1}{5^3}
x^m \cdot x^n = x^{m+n}5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3}=5^5
\frac{x^m }{ x^n} = x^{m-n}\frac{5^3 }{ 5^2} = 5^{3-2} = 5
(x^m)^n = x^{m \cdot n}(5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6
(xy)^m = x^{m}y^{m}(2 \cdot 3)^4 = 2^{4} \cdot 3^{4}
(\frac{x }{ y})^m = \frac{x^m }{ y^m}(\frac{5 }{ 2})^3 = \frac{5^3 }{ 2^3}
(x)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}(4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4} = 2
(x)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}(8)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = 4

Explicación de leyes de los exponentes

Esto no corresponde a una demostración formal, pero ayuda a comprender de dónde surge cada ley. Te darás cuenta  de que todas pueden ser obtenidas mediante el razonamiento.

Comencemos afirmando que cualquier número tiene como exponente implícito 1:

\mathbf{x^1=x}

Aplicarle un exponente a un número significa multiplicarlo por sí mismo n veces, es decir:

x^3=x \cdot x \cdot x

Supongamos que queremos multiplicar x^3\cdot x^2, entonces usemos el conocimiento anterior para operarlo:

x^3 \cdot x^2 =(x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x) = ( x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x ) = x^5

De forma general:

\mathbf{x^m \cdot x^n = x^{m+n}}

La división se haría de manera análoga:

\frac{x^3}{x^2} = \frac{ x \cdot \cancel{x \cdot x}}{ \cancel{x \cdot x}}= x^1 = x

De forma general: 

\mathbf{\frac{x^m }{ x^n} = x^{m-n}}

Sabemos que al dividir un número entre sí mismo da como resultado 1 (siempre y cuando el número no sea 0), por ejemplo:

\frac{5}{5}=1

Hagámoslo con exponentes:

\frac{x^5}{x^5} = x^{5-5} = x^0

Por lógica decimos que:

\mathbf{x^0 = 1}, x \neq 0

Ahora, con un exponente mayor en el denominador, dividamos manualmente esta expresión: 

\frac{x^2}{x^4} = \frac{\cancel{x \cdot x} }{ x \cdot x \cdot \cancel{x \cdot x}} = \frac{1}{x\cdot x} = \frac{1}{x^2}

Veamos qué obtenemos con la regla que definimos para la división:

\frac{x^2}{x^4}= x^{2-4} = x^{-2}

Entonces se puede decir lo siguiente:

x^{-2} = \frac{1}{x^2}

Más  formal:

\mathbf{x^{-n}=\frac{1}{x^n}, x \neq 0}

Elevemos un número exponenciado a otro exponente:

(x^2)^3 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = x^{2+2+2} = x^{2(3)} = x^6

Concluimos:

\mathbf{(x^m)^n = x^{m \cdot n}}

Ahora analicemos esto:

(xy)^2 = (xy) \cdot (xy) = x \cdot y \cdot x \cdot y = x \cdot x \cdot y \cdot y = (x \cdot x) \cdot (y \cdot y)  =x^2 \cdot y^2

Es decir:

\mathbf{(xy)^m = x^{m}y^{m}}

Tratemos de obtener una regla para este caso:

(\frac{x}{y})^2

Se puede expresar esa fracción como una multiplicación:

(\frac{x}{y})^2 = (x \cdot \frac{1}{y})^2

Se usa el conocimiento de que x^{-n}=\frac{1}{x^n}

(\frac{x}{y})^2= (x \cdot \frac{1}{y})^2 = (x \cdot y^{-1})^2

Podemos aplicar más propiedades para llegar rápidamente al resultado, pero se procederá manualmente por fines didácticos:

(\frac{x}{y})^2= (x \cdot \frac{1}{y})^2 = (x \cdot y^{-1})^2 = (x \cdot y^{-1}) \cdot (x \cdot y^{-1}) = x \cdot y^{-1} \cdot x \cdot y^{-1} = x \cdot x \cdot y^{-1} \cdot y^{-1} = (x \cdot x) \cdot (y^{-1} \cdot y^{-1}) = x^{1+1} \cdot y^{(-1)+ (-1)} = x^{2} \cdot y^{-1-1} = x^{2} \cdot y^{-2} = x^{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} = \frac{x^2}{y^{2}}

Dicho de una forma general:

\mathbf{(\frac{x }{ y})^m = \frac{x^m }{ y^m}}

Pasando a otro concepto, definamos algo para:

x^{\frac{1}{2}}

A primera vista no tiene mucho sentido, pero vamos a operarlo de una manera inteligente para conocer su significado, multipliquémoslo por sí mismo:

x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x

Lo que quiere decir esto es que x^{\frac{1}{2}} es la raíz cuadrada de x. Por lo que inferimos esto:

\mathbf{(x)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}}

Por último, analicemos lo siguiente:

x^{\frac{3}{2}}

La fracción \frac{3}{2} puede ser descompuesta de la siguiente manera:

x^{\frac{3}{2}} = x^{3 \cdot \frac{1}{2}}

Se usa el hecho de que x^{m \cdot n}=(x^m)^n

x^{\frac{3}{2}} =x^{3 \cdot \frac{1}{2}} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x^3}

Dicho de una manera general:

\mathbf{(x)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}}

Con esto concluye la explicación de las leyes de los exponentes.

Más información aquí.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un exponente?

Número que denota la potencia a que se debe elevar otra expresión u otro número (la base)

¿Qué son las leyes de los exponentes?

Las leyes de los exponentes (también llamadas reglas de los exponentes) son la forma en la cual podemos operar a los exponentes.

¿Qué pasa si el exponente es negativo?

El exponente negativo indica que el número se encuentra en el denominador de una fracción con numerador 1.

¿Qué pasa si la el exponente es cero?

Cualquier número con exponente 0 da como resultado 1, excepto cuando tenemos al número 0 como base, éste es indeterminado.

¿Qué pasa si la base es 0?

Si la potencia es mayor que 0, el resultado es 0, de lo contrario, la operación es indefinida, ya que se trata de dividir entre 0.

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