Combinatoria

Coeficiente binomial

¿Qué es el coeficiente binomial? El coeficiente binomial o combinaciones (sin repetición) corresponde al número de formas en que se puede extraer subconjuntos de tamaño a partir de un conjunto de elementos distintos. Éstas son algunas maneras en las que se representa y recibe el nombre de combinaciones de en : En los coeficientes binomiales, …

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El coeficiente binomial de m+n objetos tomando r es igual a la sumatoria los factores de los coeficientes binomiales de m y n donde sus objetos tomados suman r

Lo que se quiere decir es lo siguiente para enteros y : Demostración Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes: Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente: De manera análoga: Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial de cualquier …

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La suma de los cuadrados de todos los coeficientes binomiales de una fila n es igual al coeficiente binomial de 2n tomando n objetos

Lo que se quiere decir es lo siguiente: Demostración Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes: Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente: De manera análoga: Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial , de hecho, se encuentra justo …

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Coeficientes binomiales complementarios

Debido a la simetría del triángulo de pascal respecto a su eje vertical, se producen los coeficientes binomiales complementarios: Hay que resaltar el siguiente hecho: Por lo tanto, si dos coeficientes binomiales son complementarios, cuando sumamos los números de elementos que están tomando esto es igual al total de objetos (). Ejemplo Queremos saber si …

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Teorema del binomio de Newton

El teorema del binomio de Newton es una fórmula que nos proporciona una forma de desarrollar con sumandos la potencia enésima de cualquier binomio. Sean y números arbitrarios y un número natural. Entonces: Usando la notación sigma, puede escribirse también de la siguiente manera: Los términos de la forma se llaman coeficientes binomiales y representan …

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Principio de las casillas

El principio de las casillas, también llamado principio del palomar, principio de Dirichlet o principio de las cajas dice lo siguiente básicamente: Si se dispone de casillas para colocar objetos y , entonces en alguna casilla deberán colocarse por lo menos dos objetos. Una forma más general de enunciarlo: Sean ,  y  tres números naturales. Si se desean …

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Principio fundamental de conteo

El principio fundamental de conteo dice que si una cierta tarea puede realizarse de maneras diferentes y, para cada una de esas formas, una segunda puede realizarse de maneras distintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de formas diferentes. Ejemplo ¿Cuántas placas distintas hay con dos letras a la izquierda y …

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Regla de Pascal

En combinatoria, la regla de pascal dice que para cada número natural se tiene lo siguiente: Demostración Partamos de un lado de la igualdad y desarrollemos para obtener el otro: Aplicamos la definición de coeficiente binomial: Simplificamos el denominador de la primera expresión y ordenamos un poco: Obtenemos en mínimo común múltiplo de los denominadores: …

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Todo conjunto tiene la misma cantidad de subconjuntos con número par e impar de elementos

Lo que se quiere decir es esto para cualquier > 0: Demostración No se tomará en cuenta el caso en el que ya que sólo tiene una posibilidad que es y necesitamos dos posibilidades como mínimo para establecer la igualdad. Se dividirá la demostración en tres casos, cuando es 1, cuando es par (mayor que …

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