Demostración

El coeficiente binomial de m+n objetos tomando r es igual a la sumatoria los factores de los coeficientes binomiales de m y n donde sus objetos tomados suman r

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Lo que se quiere decir es lo siguiente para enteros y : Demostración Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes: Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente: De manera análoga: Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial de cualquier …

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La suma de los cuadrados de todos los coeficientes binomiales de una fila n es igual al coeficiente binomial de 2n tomando n objetos

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Lo que se quiere decir es lo siguiente: Demostración Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes: Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente: De manera análoga: Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial , de hecho, se encuentra justo …

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Coeficientes binomiales complementarios

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Debido a la simetría del triángulo de pascal respecto a su eje vertical, se producen los coeficientes binomiales complementarios: Hay que resaltar el siguiente hecho: Por lo tanto, si dos coeficientes binomiales son complementarios, cuando sumamos los números de elementos que están tomando esto es igual al total de objetos (). Ejemplo Queremos saber si …

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Regla de Pascal

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En combinatoria, la regla de pascal dice que para cada número natural se tiene lo siguiente: Demostración Partamos de un lado de la igualdad y desarrollemos para obtener el otro: Aplicamos la definición de coeficiente binomial: Simplificamos el denominador de la primera expresión y ordenamos un poco: Obtenemos en mínimo común múltiplo de los denominadores: …

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Todo conjunto tiene la misma cantidad de subconjuntos con número par e impar de elementos

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Lo que se quiere decir es esto para cualquier > 0: Demostración No se tomará en cuenta el caso en el que ya que sólo tiene una posibilidad que es y necesitamos dos posibilidades como mínimo para establecer la igualdad. Se dividirá la demostración en tres casos, cuando es 1, cuando es par (mayor que …

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Demostración de la igualdad del logaritmo con el cociente de 1 y el logaritmo del número y base intercambiados

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El logaritmo de en base es igual a 1 sobre el logaritmo de en base : Demostración: Primero definamos el logaritmo de M con base  : Trabajaremos con el lado derecho: Aplicamos a los dos lados: Usamos el hecho de que en el lado derecho de la igualdad: Por la regla de la potencia en …

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Demostración de la igualdad del logaritmo con el logaritmo del inverso multiplicativo de la base y el número

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El logaritmo de en base es igual al logaritmo de en base , es decir, se obtiene el mismo resultado si evalúas la base y el número del logaritmo con sus inversos multiplicativos: Demostración: Primero definamos el logaritmo de M con base  : Trabajaremos con el lado derecho: Por propiedad de los logaritmos, (y por …

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Demostración de la regla del cambio de base de logaritmos

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Enunciado La regla del cambio de base dice lo siguiente: Se puede cambiar la base de cualquier logaritmo de una base a otra de acuerdo a la siguiente manera: Demostración del cambio de base de un logaritmo: Primero definamos el logaritmo de M con base  : Trabajaremos con el lado derecho: Se van a aplicar …

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Demostración de la regla de la potencia (logaritmos)

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Enunciado de la regla de la potencia La regla de la potencia dice lo siguiente: El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente y logaritmo de la base. Demostración: Primero definamos el logaritmo de M con base  : Trabajaremos primero con el lado izquierdo: Vamos a multiplicar por los dos lados de …

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Demostración de la regla del cociente (logaritmos)

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Enunciado de la regla del cociente La regla del cociente dice lo siguiente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. Demostración: Primero definamos los  logaritmos de los números M y N con base : Tomando en cuenta que y : Simplificamos del lado izquierdo con la …

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