Productos notables

¿Qué son los productos notables?

Existen ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, en éstos se simplifican los cálculos escribiendo directamente los resultados mediante fórmulas fáciles de recordar, a éstos se les llaman productos notables. A cada producto notable le corresponde una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio. Para comprobar cualquier producto notable se usa la propiedad distributiva.

Factor común

El resultado de multiplicar un polinomio por un término x es multiplicar cada término por esa cantidad (propiedad distributiva).

(a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x (a+b+c)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x + c\cdot x

Cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término más el doble del producto de ellos, dando:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Cuando sólo uno de los términos del binomio es negativo, se obtiene lo siguiente:

(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2

Ejemplo

(x+3)(x+3)=(x+3)^2 = x^2 + 2(x)(3)+(3)^2 = x^2 + 6x + 9 (x-5)(x-5)=(x-5)^2 = x^2 – 2(x)(5)+(5)^2 = x^2 – 10x + 25

Cuadrado de un polinomio

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos:

(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+ac+bc) (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 + 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

Nótese que el cuadrado de un binomio (la sección anterior) también sigue esta regla.

Binomios con término común

Dos binomios con término común

Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

Ejemplo

(x+4)(x+5) = x^2 + (4+5)x+(4)(5) = x^2 + 9x + 20

Tres binomios con término común

Fórmula:

(x+a)(x+b)(x+c) = x^3+(a+b+c)x^2 + (ab + ac+ bc)x + abc

Ejemplo

(x+1)(x+2)(x+3) = x^3 + (1+2+3)x^2 + ( [1][2] + [1][3] + [2][3] )x + (1)(2)(3) = x^3 + 6x^2 + (2+3+6)x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6

n binomios con término común

Fórmula general:

(x+a_1)\cdot…\cdot(x+a_n) = x^n + (a_1 +… +a_n)x^{n-1}+([a_1a_2+a_1a_3+…+a_1a_n]+[a_2a_3+…+a_2a_n]+…+[a_{n-1}a_n])x^{n-2}+…+(a_1\cdot…\cdot a_n)

Dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados se diferencían en el signo de un término, es decir, tienen la forma:

(a+b)(a-b) = a^2-b^2

Ejemplo

(x+5)(x-5) = x^2 -(5)^2 = x-25 (4x+5y)(4x-5y) = (4x)^2-(5y)^2 = 16x^2-25y^2

Cubo de un binomio

La fórmula es la siguiente:

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3

Si el cubo contiene una resta:

(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b+3ab^2-b^3

Ejemplo

(x+2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2)+3(x)(4)+2^3 = x^3 + 6x^2+12x+8