Enunciado de la regla de la potencia
La regla de la potencia dice lo siguiente: El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente y logaritmo de la base.
log_a{(M^r)} = r \cdot log_a{M}
Demostración:
Primero definamos el logaritmo de M con base a:
\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = MTrabajaremos primero con el lado izquierdo:
\log_a{M} = TVamos a multiplicar por r los dos lados de la igualdad:
\log_a{M} \cdot r = T \cdot rAhora, en el lado derecho de la definición:
a^T = MElevamos los dos números en r:
(a^{T})^r = M^rUsaremos el hecho de las leyes de los exponentes que dice (x^m)^n = x^{mn}:
a^{Tr} = M^rAplicamos la definición de logaritmo en esa igualdad:
a^{Tr} = M^r \Longleftrightarrow log_a{(M^r)} = TrConozco el valor de Tr por lo que hice con el lado izquierdo al principio de la demostración:
log_a{(M^r)} = Tr = \log_a{M} \cdot rPor transitividad y ordenando un poco:
log_a{(M^r)} = r \cdot \log_a{M} \square