Demostración de la regla de la potencia (logaritmos)

Enunciado de la regla de la potencia

La regla de la potencia dice lo siguiente: El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente y logaritmo de la base.

log_a{(M^r)} = r \cdot log_a{M}

Demostración:

Primero definamos el logaritmo de M con base  a:

\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M

Trabajaremos primero con el lado izquierdo:

\log_a{M} = T

Vamos a multiplicar por r los dos lados de la igualdad:

\log_a{M} \cdot r = T \cdot r

Ahora, en el lado derecho de la definición:

a^T = M

Elevamos los dos números en r:

(a^{T})^r = M^r

Usaremos el hecho de las leyes de los exponentes que dice (x^m)^n = x^{mn}:

a^{Tr} = M^r

Aplicamos la definición de logaritmo en esa igualdad:

a^{Tr} = M^r \Longleftrightarrow log_a{(M^r)} = Tr

Conozco el valor de Tr por lo que hice con el lado izquierdo al principio de la demostración:

log_a{(M^r)} = Tr = \log_a{M} \cdot r

Por transitividad y ordenando un poco:

log_a{(M^r)} = r \cdot \log_a{M} \square