Enunciado de la regla del cociente
La regla del cociente dice lo siguiente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
\log_a{(\frac{M}{N})} = \log_a{M} - \log_a{N}
Demostración:
Primero definamos los logaritmos de los números M y N con base a:
\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M
\log_a{N} = U \Longleftrightarrow a^U = N
Tomando en cuenta que a^T = M y a^U = N:
\frac{a^T}{ a^U} = \frac{M}{N}
Simplificamos del lado izquierdo con la ley de exponentes que dice \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}:
a^{T -U} = \frac{M}{N}
Aplicamos la definición de logaritmo en esa igualdad:
a^{T -U} = \frac{M}{N} \longleftrightarrow log_a{(\frac{M}{N})} = T- U
Por lo que se definió al principio de la demostración, se conocen los valores de T y U, así que los reemplazamos en la ecuación:
log_a{(\frac{M}{N})} = \log_a{M} - \log_a{N} \square