Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos.

Pitágoras

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”

— Pitágoras

Por definición, un triángulo rectángulo, como su nombre lo dice, es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, que contiene un ángulo de 90°, además llamamos al lado opuesto a ese ángulo hipotenusa, los dos restantes se denominan catetos.

Podemos decir entonces que si tenemos dos catetos a y b y una hipotenusa c:

a^2+b^2=c^2

De esta ecuación, se despeja cada letra y se obtienen otras tres ecuaciones que son útiles en la práctica para encontrar los otros dos lados:

a = \sqrt{c^2-b^2} \quad  b = \sqrt{c^2-a^2}  \quad  c = \sqrt{a^2+b^2}

Nótese que sólo se usa la raíz positiva ya que el teorema se refiere a distancia (las distancias no pueden ser negativas).

Demostración del Teorema de Pitágoras

Existen muchas demostraciones que sustentan el Teorema de Pitágoras y, en particular, abordaremos una geométrica que resulta muy sencilla.

Supongamos tenemos cuatro triángulos rectángulos idénticos, con catetos a y b, e hipotenusa c, además un cuadrado de lado c, con estas figuras podemos construir la siguiente:

teorema de pitágoras demostración geométrica

La cual evidentemente es un cuadrado de lado a+b. Nos centraremos en hallar dos métodos para calcular su área que denotaremos como A.

Método 1

Resulta el más evidente y es usar la fórmula del área de un cuadrado (lado por lado), es decir:

A = (a+b)(a+b) = a^2+2ab+b^2

Método 2

Calculamos el área de un triángulo y lo multiplicamos por cuatro, ya que éstos son idénticos, y luego sumamos el área del cuadrado de lado c:

A = 4(\frac{ab}{2})+c^2 = 2ab+c^2

Igualamos…

Si con estas dos formas llegamos al área, entonces podemos igualarlas, ya que son lo mismo.

a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2

Restamos 2ab de ambos lados y obtenemos el famoso teorema de Pitágoras.

a^2+b^2 = c^2\square

Más información de este teorema puede encontrarse aquí.

Preguntas frecuentes del Teorema de Pitágoras

¿Qué enuncia el Teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

¿En qué se aplica el Teorema de Pitágoras?

Podemos usarlo para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos la longitud de sus catetos.

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